高等代数范文篇1
【关键词】线性代数；高等数学；联系；重要性
线性代数是数学中的一个分支，线性代数研究的主要是向量、线性空间、线性变换以及线性方程组。空间向量对于现代数学来说是一个非常重要的课题，线性代数的理论已经被演化为算子理论。在同学们学习线性代数的时候，在学习的过程中可以发现线性代数和解析几何在许多方面都是有相同的地方的，再准确点来说，线性代数中的一些理论是在解析几何的基础上而得来的。线性代数和求解线性方程组的关系是密不可分的。在学习线性代数的过程中，我们不仅可以学到行列式还有矩阵以及向量等的一些知识。这不仅仅说明了线性代数是数学中的一个分支，同时也说明了线性代数与高等数学之间的联系是非常的密切的。
1.线性代数的简介
线性代数是数学中的一个分支，它主要是处理关于线性之间的关系的问题的。所谓线性之间的关系也就是数学中的对象与对象之间的关系用一种一次的形式来表达出来的方式。比如说在解析几何中，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程；空间直线看做是两个平面相交，是由两个三元一次方程来组成的方程组表示。那如果含有多个未知数的一次方程的称为是线性方程。从这就引出了一些简单的线性问题。由于线性方程组和变量的线性变换问题的不断地深入，行列式和矩阵也在先后的产生，并且为处理线性问题提供了非常有利的工具，使线性代数有了很大的发展。线性代数不仅在数学这门学科中有着很重要的作用，在物理学以及技术学都有着举足轻重的作用，所以，线性代数在各种代数的分支中都占有极为重要的地位。线性代数体现了几何观念和代数方法之间的密切的联系，从它的具体的概念抽象出来的公理化方法和严谨的逻辑推证以及巧妙的归纳综合等。这对于强化人们的数学训练，增强科学智能是非常的有用的。随着科学的不断地发展，我们不仅仅要研究的是变量之间的关系，而且还要进一步的研究多个变量之间的关系，各种各样的实际问题一般都是可以线性化的，同时线性化的问题也是可以计算出来的，线性代数就是解决这些问题的主要的工具。线性代数的含义也是随着数学的发展而在不断的扩大着。线性代数的理论以及它的方法都已经彻底的渗透进了数学中，已经成为了数学中的其中主要的一个分支，同时呢，也是理论物理以及理论化学所不可以缺少的代数的基础知识。线性代数的应用是非常的广泛的，无论是在工程技术上还是在国民经济上的多个领域，它是一门非常基础而且也非常重要的学科。线性代数的计算方法也是计算数学中的一个重要的内容。
2.代数中的基本要素
在我国有很多的学者都对代数学是不太理解的，有些学者只是把代数看成是只是具体计算的一种形式的表达而已，而另外还有些人呢，则把代数看成是单纯的逻辑游戏而已，这些学者的观点都是很不恰当的。代数有两大的基本要素，第一个要素是哲学，第二个要素是组合。我们先来说说这代数中的两大基本要素吧。
代数中的第一大基本要素是哲学，代数中的哲学指的不是专门意义上的哲学，而是指在数学上意义上的哲学，是指只针对数学而言的哲学，我们可以将这里的哲学理解为数学素养、数学思想等等。相对来说，单纯的数学中的各个分支都是需要哲学来作为基础的，但是呢，代数只是一个单纯的公理化的一门学科，是需要不断的创新结构的，并且还要是对未来的穿新的结构有着希望的，所以，对代数中的哲学的要求是特别的高的。可是由于在我国的数学的学者的这种的修养是处在严重缺乏的状态中，我国大多数的学者只是在不停的做一些精密的计算，这也正是在数学中最不缺乏的东西。
代数中的第二大基本要素是组合。这也正是最容易被数学学者忽视的一个基本要素，组合是经常被当做奥数题出现在试卷上的，都被大家当做了业余数学。虽然代数一直都在不断的发明新的结构，来扩张自己的领域范围，但是还是需要进行后期的建设进行不断地充实。由此可见，这个代数中的组合的思想已经完完全全的渗透到了现代数学各个分支中了。
3.数学中的公理化的方法
现代的数学的特点主要是非常的抽象，现在也已经脱离了原有的直观的意义。抽象的原因主要是它的方法公理化了，公理化不仅仅是对现在的数学的成果的总结，同时也是创造新的概念的一个动机。公理化也就是从性质到公理，先发掘问题的典型的性质，然后再把它当成公理，从而得到一个高层次的定义，同时可以包容很多的这种性质的对象。在数学中，我们对乘法进行公理化，就能够得到一个群的概念。实际上，整个的抽象代数都是属于公理化的产物的，把公理当成是数学对象来处理的话，那么也就不是的那么引人注意了。在数学的概念的公理化的过程中在不断的升华的时候，也是在不断地抛下一些旧的概念。公理化在升华的时候使数学中的思想具有更多的普适性，但是在抛下旧的概念的时候使数学的研究范围变得越来越窄小。公理化的思想在现代的数学中是时刻存在着的，不仅仅性质可以升华为公理，同时一些简单的计算结论也是可以升华为公理的。
4.高等数学的特点
在学生的教材中，初等数学研究的主要是常量和匀速变量，而在高等数学的研究中主要是不匀变量。高等数学是理工科院校中的一门重要的基础学科。高等数学有自己的特点，高度的抽象性以及严密的逻辑性是高等数学特有的特点。不过，抽象性和计算性是数学最显著的特点。学习数学的过程也就是思维训练的过程。世界各国的的进步，是与数学这门科学是有着非常密切的联系。特别是对现代来说，数学这门科学显得更为的重要，由于电子计算机的快速出现以及普及，使得数学的领域变得更加的广泛。从我们平时学习数学的过程中就可以发现线性代数与解析几何在大多数的地方都是存在着共同之处的。我们学到了行列式、矩阵、向量以及关于一些线性方程组的一些知识。在线性代数中，我们为了解决一些线性方程组的问题，还引进了行列式，用克莱姆法来求解线性方程组的问题，在以后的学习过程中又引进了关于矩阵，由矩阵的计算方法来求出线性方程组的结果。有过了一段时间我们又将向量的概念和矩阵结合了起来，使向量和矩阵可以有机的结合起来，从而构成了求解线性方程组的有利的工具。
5.线性代数在高等数学中的应用
线性代数不仅仅是经济类院校的一门重要的基础的数学课，同时也是描述以及分析经济现象的一个有利的工具。线性代数不仅具有很强的逻辑性和抽象性，而且也具有广泛的实用性。
5.1运用数学的知识进行对线性代数的理解
每一年的第一个学期老师在给学生讲课的时候，都会有学生疑惑这门学科到底是研究什么的？所以针对学生们的问题，在教师在教学的过程中要求教师在第一节课的时候必须得给学生讲清楚线性代数的特点和内容之间的联系，使得学生对线性代数的学习有着初步的了解。这样的话，在具体的教学过程中，最好要做到直观化，并且要强调它的应用，这样不仅可以提高学生的学习兴趣，而且还可以达到很好的效果。
在刚开始给学生讲课的时候，最好就向学生讲明白线性代数是解决数学中的线性关系的问题的。对学生来说，线性关系一点都不陌生，在上中学的时候就已经知道了函数的线性关系，比如简单的线性关系y=3x，在刚开始学生就有了一个直观的了解。为了使学生能够进一步的了解线性代数不仅仅只是简单的一元变量的线性关系，它还是多元变量之间的线性关系，我们还进行了实际例子的证明。如下所示：
下图是物流平衡图，其中x1表示从站A流向站B的货物吨数，X4表示从站B流向站D的货物吨数，20表示从站D流向站C的货物吨数等。如果要求在每一站流入吨数与流出吨数相等，求X1,X2,X3,X4,X5应该如何选择。
根据上面的信息和等式的条件，很容易就列出方程组了。
由题意可得X1,X2,X3,X4,X5满足方程组
X1+X2=X3;
X4+X5=X1;
X5+20=X3;
20=X2+X4;
整理可得X1+X2-X3=0;
X1-X4-X5=0;
X3-X5=20;
X2+X4=20
从上面的式子可以看出未知数之间的关系，这是非常的满足线性关系的。然后我们就要根据式子来对方程组进行求解，一般是在方程组中有几个的方程就是有几个的未知数，并对这个方程组进行求解。方程组中求出的解的形式都是唯一的。下面主要是一些关于线性代数公式：
导数的定义：设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量x在处有增量x(x+x也在该邻域内)时，相应的函数有增量；若y与x之比当x0时极限存在，则称这个极限值为在处的导数。
函数在点处存在导数简称函数在点处可导，否则不可导。若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。要特别的注意的是导数也就是差商的极限，左、右导数前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。如果极限存在，我们就称它为函数在x=处的左导数。如果极限不存在，我们就称它为函数在=处的右导数。还应该注意的是函数在处的左右导数存在且相等是函数在处的可导的充分必要条件。这些公式是线性代数在高等数学中经常性的用到的一些公式，同时它也是将线性代数和高等数学紧密联系在一起的重要的一部分。
在线性代数的应用教学中，学生不仅仅是可以通过例子和练习将所学的知识点进行融会贯通，而且还可以扩大视野。最为重要的是提高了学生解决实际问题的能力。
参考文献：
[1]吴志丹.浅谈线性代数教学中的能力培养[J].?辽宁行政学院学报,2007(04).
[2]米永生.?线性代数与微积分学问题与解法的渗透[J].?大学数学,2007(02).
[3]金莹.?浅谈高等数学、线性代数知识在统计教学中的应用[J].?科技信息(科学教研),?2008(11).
[4]敖长林.线性代数课程改革与实践[J].理工高教研究,2003(04).
高等代数范文篇2
关键词：等价关系矩阵向量组相似矩阵合同矩阵
一个给定的集合中的元素之间的一个关系如果满足下面三个性质：（1）自反性，（2）对称性，（3）传递性，我们称该关系为等价关系（equivalencerelation［1］）。在高等代数课程中有几个重要的等价关系，就是矩阵的等价，向量组的等价，矩阵的相似，矩阵的合同这四个等价关系。既然称之为等价关系，那么这里的“等”字是否意味着什么相等呢？本文主要探讨这些等价关系中“等”字的涵义。希望通过讨论，丰富对等价关系的感性认识，加深对代数学中这一基础概念——等价关系的理解。
一、矩阵的等价
对于矩阵A、B，如果A经过有限步初等变换成为B，则称矩阵A与B等价［2］。根据矩阵初等变换的定义，可以验证矩阵之间的这样的关系满足等价关系的三个性质，因此称之为矩阵的等价。
矩阵等价，这个“等”字之后意味着什么相等呢？如果矩阵A和B等价，也就是A经过有限次的初等变换可以变成B，可见A与B首先得同型，即有相同的行数和列数；否则，A无论如何都不能变换成B。其次，A和B应该有相同的秩，即r（A）=r（B）；因为初等变换不改变矩阵的秩。反之，如果矩阵A和B同型且有相同的秩，是不是A与B等价呢？答案是肯定的。一个矩阵通过初等变换总会变换成它的标准型，其标准型中左上角的单位子矩阵的阶等于该矩阵的秩。如果矩阵A和B同型且有相同的秩，则A和B有相同的标准型，即A和B与同一个标准型等价，因此矩阵A和B等价。可见矩阵等价中的“等”字，实际是指它们同型且有相同的秩。我们把上面的讨论归结为下面的定理。
定理1：矩阵A和B等价的充要条件是它们的行数、列数和秩都对应相等。
二、向量组的等价
设向量组A：α■，α■，…，α■；B：β■，β■，…，β■，若向量组B中的向量都能由A中的向量线性表示；反之亦然。那么称向量组A和B等价［2］。可以证明在该定义下这是一个等价关系。这个“等”字背后意味着什么相等呢？我们不妨把目光集中在实数域R上的向量和向量空间上。
对于向量组A，其中的向量可以以实数为系数线性生成一个实数域上的线性空间，简称为A生成的空间，记作span（A）；同样也有span（B）。如果向量组A和B等价，则B中的向量都能由A中的向量线性表示，因此span（B）中的任意向量也可以由A中的向量线性表示，则有span（B）?哿span（A）；反之亦有span（A）?哿span（B）。因此span（A）=span（B）。另一方面，如果span（A）=span（B），由于B?哿span（B），故B?哿span（A）。因此B中的向量都能由A中的向量线性表示；同理，A中的向量也可以由B中的向量线性表示，则向量组A和B等价。由上面讨论可见向量组A和B等价，这个“等”字意味着它们的生成空间相等。即有下面的结论。
定理2：向量组A和B等价的充要条件是span（A）=span（B）。
三、矩阵的相似
设A和B是两个n阶矩阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得A=P■BP，那么称矩阵A和B相似［4］。矩阵的相似关系是一个等价关系，那么这个“等”字背后意味着什么相等呢？
我们考虑一个n维线性空间上的线性变换（如果矩阵A和B是数域F上的矩阵，那么就考虑F上的一个n维线性空间）。对于一个线性变换σ，取该n维空间的一个基ε■，ε■，…，ε■，如果我们描述清楚了该基中向量在σ下的像，那么就描述清楚了该线性变换σ；这是因为σ是一个线性变换。设联系基的像σ（ε■，ε■，…，ε■）与基ε■，ε■，…，ε■之间的过渡矩阵为A，σ（ε■，ε■，…，ε■）=（ε■，ε■，…，ε■）A。即，我们用矩阵A来表述了基的像，因此用矩阵A完全刻画线性变换σ；换言之，线性变换表示成为一个方阵。
问题是：同一个线性变换σ，如果选定该n维空间的另外一个基β■，β■，…，β■，那么刻画σ的矩阵就会是另一个矩阵B。但是此时我们会发现矩阵A和B相似，即存在n阶可逆矩阵P，使得A=P■BP，其中恰有（ε■，ε■，…，ε■）=（β■，β■，…，β■）P。
另一方面，设矩阵A和B相似，A=P■BP。取该n维空间的一个基ε■，ε■，…，ε■，则由（ε■，ε■，…，ε■）A决定了一个线性变换σ，即σ（ε■，ε■，…，ε■）=（ε■，ε■，…，ε■）A；换言之，一个方阵实际在描述着一个线性变换。令（β■，β■，…，β■）=（ε■，ε■，…，ε■）P■，则β■，β■，…，β■也是一个基，那么矩阵B在基β■，β■，…，β■下也在描述着一个线性变换σ■，即σ■（β■，β■，…，β■）=（β■，β■，…，β■）B。实际上，σ■=σ，因为σ（ε■，ε■，…，εn）=σ■（ε■，ε■，…，ε■）。
在上面的讨论之下，可以笼统说，n维空间的线性变换表示为一个方阵，一个方阵实际在表达一个线性变换。矩阵A和B相似等价，这个“等”字实是指它们在表达着同一个线性变换。准确地说有如下定理。
定理3：n阶矩阵A和B相似充要条件是它们是n维线性空间的同一个线性变换在不同基下所对应的矩阵。
四、矩阵的合同
设A和B是两个n阶矩阵，若存在n阶非退化矩阵P，使得A=P■BP，其中P■是P的转置矩阵，那么称矩阵A和B合同■。合同关系是一个等价关系，这个“等”字指的是什么相等呢？对称矩阵只能和对称矩阵合同，我们只在对称矩阵之中讨论合同关系。
一个n阶对称方阵A对应着一个n元二次型X■AX，此时称该二次型为A的二次型，矩阵A称为二次型X■AX的矩阵。如果A和B是数域F上的两个n阶矩阵，那么它们对应着数域F上的二次型。任何一个二次型通过非退化的线性变换可以化为规范型形式的二次型。如果对称矩阵A和B合同，A=P■BP，那么X■AX通过非退化的线性变换Y=PX可以化为B的二次型Y■BY。因此A和B的二次型有相同的规范型。反之，如果A和B的二次型有相同的规范型，则A和B合同于同一个规范型的矩阵，故A和B合同。所以对称矩阵A和B合同等价，这一“等”字是指它们的二次型的规范型等同。从几何直观来看，二次型是n维空间F■的曲线，不同的规范型代表不同的曲线类型。矩阵A和B合同等价，是指它们对应的曲线类型相同。例如在R■（R为实数域）中，x■+y■代表的是椭圆类二次曲线，而x■-y■代表的是双曲线类二次曲线。
定理4：对称矩阵A和B合同充要条件是它们的二次型的规范型相同。
参考文献：
［1］J.J.Rotman.AdvancedModernAlgebra（抽象代数，影印版）［M］.北京：高等教育出版社，2004.
［2］北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.王萼芳，石生明修订.高等代数（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.
高等代数范文篇3
关键词:《高等代数》学习障碍排除对策
《高等代数》是数学专业的核心课程之一,其教学目的是使学生初步掌握比较系统的代数知识与严格的代数方法,培养和发展学生的抽象思维能力与逻辑推理能力,为进一步学习其它专业课程打下基础。这门课程具有高度的抽象性、严密的逻辑性和完整的系统性三大特点,因而大一学生刚接触时有较难学、不易掌握之感。
一、学习障碍的具体表现及原因
学习障碍具体表现为:在课堂听讲时基本概念理解不清,定理内容不明,性质的推导和证明不懂;阅读教材时认为前后衔接不上,不明意思,形成不了整体认识;在做习题时,对证明题找不到思路或缺乏明确思路,导致无法动笔或不能完整证明,对求解题,不会运用所学知识,或因基本技能不熟练而不能完整解答。出现这些障碍的原因是多方面的,除了学生数学基础的牢固程度与主观学习积极性外,很重要的一点是客观上《高等代数》比《初等代数》中研究对象更多,抽象化、形式化程度更高,运算与推理也更繁杂,而此时学生刚走出中学大门,他们的学习习惯和思维方式还是中学阶段固有的模式,比如听课时许多同学把重点放在“解题方法和步骤”而不关注“知识的发生过程”,做题时对类型、套模式,不能迅速适应大学课程的学习。
二、排除对策
1.注意《高等代数》与初等数学间的联系与区别。
在学习内容上,教师要在多项式、线性方程组、矩阵及二次型中充分发挥初等数学的源头作用,让学生找到高度抽象的《高等代数》概念的初始源头,在联系对比中辨别其异同,从而加深印象。通过这种比较,学生能体会和理解到《高等代数》研究问题着眼于一般化、普遍性问题的整体解决,而初等数学通常只注重具体问题的个别解决。从学习方法上,教师要指导学生从中学的被动接受过渡到大学的主动获取,主动发现问题、主动查阅资料、主动探求解决问题的方法;从习惯具体的一招一式的方法步骤到掌握本质,领悟其思想内涵。
2.学习《高等代数》,首先要学好概念。
《高等代数》中的概念,突出的特点是高度的概括性与高度抽象性。如“向量空间”定义中的加法与数乘不只是通常的加法与数乘,所给的向量空间也不是简单的几何模型所能体现出来的。这就要求学生在学习概念时,首先要深刻体会,反复琢磨,挖掘出每个概念的关键含义。其次要弄清概念与概念之间的联系。《高等代数》中,有时概念之中有概念,比如向量空间中不变子空间的概念,就包含向量空间、线性变换和子空间三个概念。如果其中一个概念不清楚,势必影响对不变子空间这个概念的理解。再次还必须知道一些实例。《高等代数》中概念的给出,常常引入一些实例作为抽象概念的引导,这可使学生了解这些概念的实际背景。而通过实例学生学生还可了解这个概念出现的具体简单场合和一些重要的特殊情况,进而明确其应用范围和定义中关键所在。最后要弄清概念的结构,一般分为基本条件、特点和结论三部分,这有助于学生加深对概念的理解与记忆。
3.学习《高等代数》,要掌握好定理。
定理是概念之间的规律性联系,是《高等代数》的核心部分,在这门课程中所获得的规律性认识,主要来源于定理。学生要学好定理,一方面要深入理解定理中所包含的内容,记住结论,搞清定理成立的前提条件,会运用定理进行论证,另一方面要认真弄懂定理的证明过程。有些定理的证明,对培养学生的分析问题能力与逻辑推理能力方面的作用比定理本身的意义还要大。一般来说,初学者要读懂一个定理的证明,需要反复阅读几遍,并认真思考,从中理出证明的思路与方法。这个严格的数学训练过程对提高学生的思维能力和解题能力是大有裨益的。
4.学习《高等代数》,要做一定数量的习题。
学习《高等代数》只看书不做题肯定不行。《高等代数》内容前后联系紧密,互相渗透,学生在做题时要注重知识点的衔接与转换,知识要成网,使所学知识融会贯通,这样思路才会开阔。《高等代数》教材中的习题包括计算题和证明题两部分,计算题能巩固和加深学生对概念的理解,其中有些计算量比较大,如求最大公因式,求线性方程组的通解,求矩阵特征值与特征向量等。《高等代数》中习题的主体是证明题,它有助于培养学生的抽象思维能力与逻辑推理能力,因此学生要重视它,多花时间与精力去提高解答证明题的能力,当然,这需要一个积累的过程。除了教材上的一般习题,笔者建议学生选择性地做一本配套的有选择及填空题型的参考资料上的课外习题。
5.学习《高等代数》,要注重归纳总结,使知识系统化。
学习《高等代数》,要善于归纳总结。一方面,对每一章,在教师指导下,学生及时完成知识的系统化整理是必要的。这样学生自己可检查对知识的掌握情况,及时查漏补缺。另一方面,所谓“站得高可看得远”,对全书来说,学生还必须注意弄清章与章、节与节之间的内在联系,理清来龙去脉,这样可从宏观整体上理解和把握教材。
参考文献:
[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
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